PMHFの導出とPIR区間分割（周期一定の仮定）
車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とします。VSG到達確率は
$$
\mathrm{PoF}:=\Pr\{\eta_{T_\text{lifetime}}\in\mathcal P\}=F(T_\text{lifetime})
\tag{1060.1}
$$
です。ここで規格定義より
$$
\mathrm{PMHF}
=\frac{\mathrm{PoF}}{T_\text{lifetime}}
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} f(t)\,dt
\tag{1060.2}
$$
となります。PIRにより検査時刻を $0=\tau_0<\tau_1<\cdots<\tau_n=T_\text{lifetime}$ とすると、
$$
\int_0^{T_\text{lifetime}} f(t)\,dt
=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}} f(t)\,dt
\tag{1060.3}
$$
と区間分割できます。ここで規格の規定から検査周期が一定であると仮定し、ある定数 $T_\text{service}>0$ により
$$
\tau_k=kT_\text{service}\quad(k=0,1,\ldots,n),\qquad T_\text{lifetime}=nT_\text{service}
\tag{1060.4}
$$
と置きます。このとき(1060.3)は
$$
\int_0^{T_\text{lifetime}} f(t)\,dt
=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{kT_\text{service}}^{(k+1)T_\text{service}} f(t)\,dt
\tag{1060.5}
$$
となり、区間内時刻 $u:=t-kT_\text{service}$ を用いた近似計算により、各区間積分を閉形式で評価できます。
Vesely起点によるf_\text{VSG}(t)の構成とPMHF導出
非冗長系において、DPFは「SMが潜在状態にあり、かつIFが稼働集合にある」条件のもとでIFが危険故障へ遷移する事象です。したがってDPFの到達密度は
$$
f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,DPF}\,Q_\text{SM}(t)
\tag{1060.1}
$$
と書けます。
同様にSPFは
$$
f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,SPF}
\tag{1060.2}
$$
です。
希少事象近似の下では $\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx 1$ であるため
$$
f_\text{DPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t),\qquad
f_\text{SPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}
\tag{1060.3}
$$
となります。
したがってVSG到達密度は
$$
f_\text{VSG}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t)
\tag{1060.4}
$$
です。
車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、VSG到達確率は
$$
\mathrm{PoF}:=\Pr\{\eta_{T_\text{lifetime}}\in\mathcal P\}=F_\text{VSG}(T_\text{lifetime})
\tag{1060.5}
$$
です。ここで規格定義より
$$
\mathrm{PMHF}
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\mathrm{PoF}
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}F_\text{VSG}(T_\text{lifetime})
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} f_\text{VSG}(t)\,dt
\tag{1060.6}
$$
となります。
(1060.4)を(1060.5)へ代入すると
$$
\mathrm{PMHF}\approx \lambda_\text{IF,SPF}
+
\lambda_\text{IF,DPF}\frac{1}{T_\text{lifetime}}
\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)\,dt
\tag{1060.6}
$$
を得ます。
1059の(1060.5)より
$$
Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u)
\tag{1060.7}
$$
であるため
$$
\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)\,dt
=(1-K_\text{SM,DPF})\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt
+
K_\text{SM,DPF}\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du
\tag{1060.8}
$$
となります。
小確率近似 $F_\text{SM}(t)\approx \lambda_\text{SM}t$ を用いれば
$$
\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt\approx \frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}^2}{2},\quad
\int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du\approx \frac{\lambda_\text{SM}\tau^2}{2}
\tag{1060.9}
$$
です。
したがって
$$
\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)\,dt
\approx
\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr)
\tag{1060.10}
$$
となります。
(1060.6)(1060.10)より
$$
\mathrm{PMHF}\approx
\lambda_\text{IF,SPF}
+
\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}
\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr)
\tag{1060.11}
$$
を得ます。
さらに
$$
\lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\quad
\lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}
\tag{1060.12}
$$
を代入すれば
$$
\mathrm{PMHF}\approx
(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}
+
\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}
\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr)
\tag{1060.13}
$$
となります。
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